北师大版小学数学专题讲解——列方程解应用题 教学案例(五年级下册)
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 北师大版小学数学专题讲解——列方程解应用题

  在小学数学教学中，列方程解应用题是难点。这一部分内容融入了等式的性质，利用四则运算各部分的关系，有助于对所学的算术知识进行巩固和加深理解，初步渗透代数的思想，然而在这一部分教学中存在一定的难点。

一、审清题意：

   审题，理解题意。即全面分析题目中的已知量、未知量及二者之间的关系。特别要把牵涉到的一些概念术语弄清，如同向，相向，增加到，增加了等。

 二、确立未知数：

      即用x表示所求的数量或有关的未知量。若题中含有两个或两个以上的未知量，则找出他们之间数量关系，用含有x的式子分别将它们表示出来；

    三、寻找等量关系：

     “含有未知数的等式称为方程”因而是“等式”是列方程比不可少的条件。所以寻找等量关系是解题的关键。常见的等量关系有以下几种：

      1、总量相等；2、成倍数相等；3、按公式相等；

小学常用数量关系总结：

【行程问题】  速度×时间=路程

            ① 合作行程：速度和×时间=路程和 

 甲的路程+乙的路程=总路程                                         

 甲的速度×甲的时间+乙的速度×乙的时间=总路程 

              （注意：总路程是指已经行走的路程，未走的路程要扣除）

            ② 追及行程：速度差×时间=路程差

 甲的路程—乙的路程=路程差                                        

 甲的速度×甲的时间—乙的速度×乙的时间=路程差

              （注意：路程差是指二者相差的路程，分为先天形成和后天形成两种）

            ③ 流水行船：顺流速度=静水速度+水流速度

                         逆流速度=静水速度-水流速度

              （静水速度是指船在不受外力影响的作用下，由船本身决定的速度，一般不会改变）

【工程问题】 工作效率×工作时间=工作总量

           ① 合作工程：工作效率和×工作时间=工作总量和 

  甲的工作总量+乙的工作总量=总的工作总量                            

  甲的工作效率×甲的工作时间+乙的工作效率×乙的工作时间=总的工作总量 

              （注意：总的工作总量是指已经完成的工作，未完成的工作要扣除）

            ② 追及工程：工作效率差×工作时间=工作总量差

  甲的工作总量—乙的工作总量=工作总量差                     

  甲的工作效率×甲的工作时间—乙的工作效率×乙的工作时间=工作总量差

              （注意：工作总量差是指二者相差的工作量，分为先天形成和后天形成两种）

【商品问题】 单价×数量=总价

             售价—成本=利润

             利润÷成本-利润率

【植树问题】（一）在线段上的植树问题可以分为以下三种情形。

       1、如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数=间隔数+1。

       2、如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：棵数=间隔数。

       3、如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即：棵数=间隔数－1。

     （二）在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数=间隔数。

     （三）在正方形线路上植树，如果每个顶点都要植树。则棵数=（每边的棵数－1）×边数。

【鸡兔同笼问题】鸡的头+兔的头=总头数

                鸡的脚+兔的脚=总脚数

【图形问题】

图形 周长 面积 体积

正方形 C正=4 a     S正 =a2   

长方形  C长=2（a+b）  S长=ab

 平行四边形 S平行四边形=ah

三角形 S三角形=ah÷2

 梯形  S梯=（a+b）h ÷2

正方体  S正=6a2  V正=a3

长方体  S长=2（ab+ac+bc） V长=abc

    圆柱 S圆柱=2S底+S侧=2πr2+Ch=2πr2+2πrh  V圆柱=S底h=πr2h

圆锥    V圆锥=1/3V圆柱=1/3S底h=1/3πr2h

【基础训练】

（一）根据题意把方程补充完整：

1、三角形的面积是25.6平方厘米，高是6.4厘米，底边长x厘米。

                      =25.6

2、一个圆锥的体积是25.12立方分米，它的底面半径是x分米，高是6分米。

                      = 25.12

3、李娟同学买了2支圆珠笔与3本练习本，共付7.2元，每本练习本X元，每本练习本Y元。

                       =7.2

4、水果店运来苹果420千克，每25千克装一箱，装了x箱后还剩下20千克。

                        =20

5、洗衣机厂今年每日生产洗衣机260台，比去年平均日产量的2.5倍少40台，去年平均日产洗衣机多少台?  

解：设                          。                              

6、用一根铁丝可以围成一个边长是4厘米的正方形,还用这根铁丝，围成一个宽是2厘米的长方形,这个长方形的长是多少厘米？

解：设                          。                              

7、两艘货船同时从一个码头出发，各往东西方向行驶。甲船每小时行驶30千米，乙船每小时行驶42千米，航行几小时后两轮船相距252千米？

解：设                          。                              

（二）列方程解应用题：

1、某建筑队修筑一段公路，原计划每天修56米，15天完成，实际上每天多修4米，实际用了几天？

2、两个车间共有150人，如果从一车间调出50人，这时一车间人数是二车间的 ，二车间原有多少人？

3、甲筐苹果的重量是乙筐的3倍。如果从甲筐取出20千克放入乙筐，那么两筐苹果的重量就相等。两筐原来各有苹果多少千克？

4、师徒二人共加工208个零件，师傅加工的零件数比徒弟的2倍还多4个。师傅加工了多少个零件？

5、新江县新开通的公共汽车实行两种票制，普通车票每张2元，通票每张5元。有一天售票员统计车票收入时，发现这天共有乘客880人，通票收入比普通车票收入多1740元。问这天购买通票的有多少人？

6、苹果、梨、桔子三种水果共100千克，其中苹果的重量是梨的3倍，桔子的重量比梨的一半少8千克，其中有桔子多少千克？

7、张师傅加工一批零件，原打算每天做50个，为了提早10天完成，他把效率提高，每天做75个。这批零件一共有多少个？

8、 运送29.5吨煤，先用一辆载重4吨的汽车运3次，剩下的用一辆载重为2.5吨的货车运。还要运几次才能运完？

常见的列方程解应用题问题

【行程问题】

1、甲乙两车从相距272千米的两地同时相向而行，3小时后两车还相隔17千米。甲每小时行45千米，乙每小时行多少千米？

2、甲乙两人同时从同一地点向相反方向行走，3.5小时后两人相距38.5千米。甲每小时行走5千米，乙每小时行走多少千米？

3、两地相距660千米，甲车每小时行32千米，乙车每小时行34千米，两车分别从两地同时出发相向而行，经过几小时相遇？

4、小东、小英同时从某地相背而行，小东每分钟走50米，小英每分钟走45米，经过多少分钟两人相距285米？

5、两列火车同时从甲、乙两城相对开出，慢车每小时行60千米，快车每小时行80千米，两城相距770千米，两车开出几小时后还相距210千米？

6、甲、乙两地相距480千米，客车、货车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，客车每小时行70千米，货车每小时行50千米，相遇时，两车各行了多少千米？

7、一辆轿车和一辆摩托车分别从甲、乙两地相向而行，两地相距500千米，摩托车上午8点出发，每小时行40千米，轿车上午10点出发，每小时行60千米，问几点两车可以相遇？

8、两地相距400米，两人从两地同时出发向相反的方向而行，5分钟后两人相距960米，甲每分钟走50米，乙每分钟走多少米？

9、一列快车和一列慢车同时分别从相距630千米的两地同向开出，4.5小时快车追上慢车，快车每小时行78千米，慢车每小时行多少千米？

10、甲乙两辆汽车同时从相距300千米的两地同向行驶，4小时后甲车追上乙车，已知甲车每小时行40千米，乙车每小时行多少千米？

11、甲、乙两车同时从两地相向开出，甲车每小时行50千米，经过3小时已驶过中点30千米，此时甲车与乙车还相距6千米，求乙车每小时行多少千米？

12、甲乙两列火车同时从某地相对开出，经过8小时相遇，已知甲火车每小时行85千米，相遇时，甲比乙多行了240千米，求乙火车的速度是多少千米？

13、一只小船要行216千米的路程，逆水航行需要12小时，顺水航行需要9小时，求船速和水速各是多少千米？

14、一只货船顺水行800千米的航程用20小时，已知水速为每小时4千米，如果逆水返回需要多少小时？

15、顺水行船，2小时行36千米，已知船在静水中的速度是每小时7千米，求逆水行船返回出发地点要多少小时？

16、两码头相距540千米，一货船顺水行全程需8小时，逆水行全程需要4小时，这货船顺水比逆水每小时快多少千米？

17、逆水行船9小时行44千米，已知水速是每小时3千米，问这只船顺水行330千米的路程用多少小时？

18、有甲、乙两只船航行于720千米的江河中，甲船逆水行全程需要36小时，乙船逆水行全程用30小时，甲船顺水行全程用20小时，乙船顺水行全程几小时走完？

19、一只船从甲地到乙地，逆水每小时行48千米，顺水返回，比逆水提前5小时到达。已知水流速度为每小时6千米，求甲、乙两地的距离。

20、甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。

21、某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，水速每小时3千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？

22、甲、乙两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时.现在有一机帆船，静水中速度是每小时12千米，这机帆船往返两港要多少小时？

【工程问题】

1、师徒两人在15天中共完成465个零件。师傅每天制造18个，师傅每天完成的件数比徒弟多多少个？

2、甲、乙两个工程队共同开凿一具隧道。15天共开凿了2070米，甲队每天开凿65米，乙队每天开凿多少米？

3、甲、乙两个工程队共同开凿一个隧道。开凿了15天，甲队比乙队少开凿了120米，甲队每天开凿65米，乙队每天开凿多少米？

4、甲、乙两个工程队共同开凿一个隧道。甲队每天开凿65米，乙队每天开凿73米，铺了多少天后，甲队比乙队少铺120米？

【商品问题】

1、5个足球比5个排球贵62.5元，已知每个排球52.5元，每个足球多少元？

2、一只足球46.8元，比一只排球价钱的3倍少1.2元，一只排球的价钱是多少元？

3、学校买了18个篮球和20个足球，共付了490元，每个篮球14元，每个足球多少元？

【平均数问题】

1、某校六年级有两个班，上学期级数学平均成绩是85分。已知六（1）班40人，平均成绩为87.1分；六（2）班有42人，平均成绩是多少分？

2、某学校五年级有两个班，半期考试平均分为90分。已知五年一班有45人，平均分89分，五年二班平均分91分，问五年二班有多少人？

【鸡兔同笼问题】

1、王老师圆珠笔和钢笔共买了15支，圆珠笔每支1.5元，钢笔每支4.5元，共花了49.5元，圆珠和钢笔各买了几支？

2、小刚买回8分邮票和4分邮票共100张，共付出6.8元，问，小刚买回这两种邮票个多少张？各付出多少元？

3、鹤龟同池，鹤比龟多12只，鹤龟足共72只，求鹤龟各有多少只？

4、大油瓶每瓶装4千克，小油瓶2瓶装1千克，现有100千克油装了共60个瓶子。问大小油瓶各多少个？

5、班主任张老师带五年级（2）班50名同学栽树，张老师栽5棵，男生每人栽3棵，女生每人栽2棵，总共栽树120棵，问几名男生，几名女生？

【图形问题】

1、王大爷准备用400米长的栅栏围一个长方形养鸡场，如果长是宽的3倍，这个养鸡场的长和宽各是多少米？

2、王大爷准备用400米长的栅栏围一个长方形养鸡场，如果长比宽多80米，这个养鸡场的长和宽各是多少米？

3、把一块长31.4厘米，宽20厘米，高4厘米的长方体钢坯熔化后烧铸成底面半径是4厘米的圆柱体。圆柱体的高是多少厘米?

4、某学校有一梯形方队，已知第一排有25人，最后一排有55人，整个方队有400人，问这个反对有多少排？

5、已知一长方体的表面积是1562平方米，长为25米，宽为13米，求此场、长方体的高为多少米？

列方程解应用题常见错例评析

一、把算术解法当作方程解法的错误

　　例1　两袋大米，甲袋重65千克，乙袋重45千克，要使两袋大米的重量相等，应从甲袋里取出多少千克放入乙袋？（用方程解）

　　错解　设应从甲袋里取出大米x千克放入乙袋，根据题意列方程：x＝（65－45）÷2， x=20÷2，x＝10。

　　分析　以上计算并无错误，但不符合利用方程求解的意义和要求。这种解法虽然也含有未知数，但实际上是一种算术方法。纠正的方法是把未知数设为x，暂时把未知条件当成已知条件，使未知条件与已知条件处于同等的地位，然后找出等量关系列方程。这样做比起用算术方法解容易得多。

　　正确解法：设从甲袋取出x千克大米放入乙袋，根据题意列方程：

　　65-x=45＋x，65-2x＝45，2x＝65-45，x＝10

　　答：应从甲袋取出大米10千克。

　　评点　本题主要考查同学们对简易方程基本知识的掌握程度，以及运用“等量”关系列方程和解方程的基本技能。有的同学由于受算术方法解应用题的思维定势的影响，所以会出现上面的错误解法。

　　

二、等量关系的错误

　　例2　学校分苹果，五年级老师分50千克，比四年级老师分的2倍少2千克。四年级老师分多少千克？

　　错解　设四年级老师分x千克，列方程得：

　　2x+2＝50，2x=48，x＝24。

　　分析　本题在列方程时把等量关系弄错了，误认为四年级老师的2倍加上2千克就等于五年级老师分的。

　　正确解法：设四年级老师分x千克。

　　2x-2＝50，2x＝52，x=26。

　　答：四年级老师分26千克。

　　

三、单位不统一的错误

例3梯形的面积是24平方厘米，高为4厘米，下底比上底多0.6分米，求梯形的上底。（用方程解，注：梯形面积=（上底+下底）×高÷2）

错解1 设梯形的上底是x分米  （x＋x＋0.6）×4÷2=24，2x＋0.6＝12，2x=11.4，x＝5.7。

　　答：梯形的上底是5.7分米。

错解2设梯形的上底是x厘米，

　　（x＋x＋0.6）×4÷2＝24，2x＋0.6=12，

　　2x＝11.4， x＝5.7。

　　答：梯形的上底是5.7厘米。

分析此题错在没有统一题中各个量的单位。题中告诉的面积单位为平方厘米，高是厘米，下底却是分米，如果不加以统一，所列出的就不是等式，也就不能恒等变形。所以我们在列方程时首先要将题中的单位统一起来。

　　正确解法：0.6分米=6厘米

　　设梯形的上底是x厘米

　　（x＋x＋6）×4÷2＝24，2 x＋6=12，

　　2 x＝6，x＝3。

　　答：梯形的上底是3厘米。

四、设句不写单位名称的错误

例4粮仓要运进250吨粮食，已经运了8天，每天运进18吨，余下的要4天运完。平均每天要运进多少吨？

错解设平均每天要运进x，根据题意列方程：

　　18×8+4 x＝250，144+4 x＝250，

　　4 x＝250－144，4 x＝106，x＝26.5。

　　答：平均每天运进26.5吨。

分析此题错在所设未知数不带单位名称，致使其在等式中代数量意义不明确，从而导致错解。正确的应设平均每天要运进x吨，否则不能认定该等式成立。

五、求得的值带上单位名称的错误

例5某站运来3车黄瓜和6车芹菜，共重2 580千克，每车黄瓜重260千克。每车芹菜重多少千克？

错解 设每车芹菜重x千克，列方程得：

　　260×3+6x=2580，780+6x=2 580。

　　6 x =2580－780，6 x＝1800，x =300（千克）。

　　答：每车芹菜重300千克。

    分析 此题错在最后求得的x值带上了单位名称，这是不符合解方程的要求的。造成这一错误有两个原因：一方面受算术方法解题的影响；另一方面是对解方程的概念不甚明了。方程是一种等式，方程两边无论是数还是量都是相等的，因此两边的单位名称可同时约去。求方程解的过程就成了数的恒等变形的过程，最后的结果是没有单位名称的，只需要在答句中把单位名称写清楚就行。

 

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