小学数学总复习专题讲解及训练(八) 教案教学设计(人教新课标六年级总复习)

小学数学教学资源网数学教案教学设计 手机版


 

主要内容

正比例和反比例

学习目标

1、使学生结合实际情境认识成正比例和反比例的量,能根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。

2、使学生初步认识正比例的图像是一条直线,能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的直线,能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。

3、使学生在认识成正比例、反比例的量的过程中,初步体会数量之间相依互变的关系,感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型,进一步提升思维水平。

4、使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系,增强探索数学知识和规律的意识,养成积极主动地参与学习活动的习惯,提高学好数学的信心。

考点分析

1、两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们之间的关系叫做正比例关系。

如果用字母x和y分别表示两种相关联的量,用k表示它们的比值,正比例关系可以用这样的式子来表示:  = K(一定)。

2、用“描点法”可以得到正比例的图像,正比例的图像是一条直线。对照图像,能根据一种量的值,估计另一种量相对应的值。

3、两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们之间的关系叫做反比例关系。

如果用字母x和y分别表示两种相关联的量,用k表示它们的积,反比例关系可以用这样的式子来表示:xy = K(一定)。

4、两个变量的比值一定,这两个变量成正比例;两个变量的积一定,这两个变量成反比例;没有上述两种关系,这两个变量不成比例。

典型例题

例1、(正比例的意义)一列火车行驶的时间和路程如下表。这两种量有什么关系?

时间/时 1 2 3 4 5 6 ……

路程/千米 120 240 360 480 600 720 ……

分析与解:(1)从上表可以看出,表中有时间和路程两种量。

(2)从左往右看,时间扩大,路程也扩大;从右往左看,时间缩小,路程也缩小。所以它们是两种相关联的量。

(3)路程和时间的比值始终不变,  = 120,  = 120,  = 120……这个比值就是火车的行驶速度。

通过观察和计算,我们对路程和时间的关系有两点发现:第一点路程和时间是两种相关联的量,也就是时间变化,路程也随着变化;第二点路程和对应的时间的比的比值(也就是速度)是一定的,有这样的关系:  = 速度(一定)。

具备了这两个条件,我们就可以得到结论:行驶的路程和时间成正比例关系;行驶的路程和时间成正比例的量。

点评:判断两种量是不是成正比例,分三步:一看它们是不是相关联的两种量;二是看一种量变化,另一种量是不是也随着变化;满足了前面两个条件,再看它们的比值是否一定。不要省去任何一步。如果用字母x和y分别表示两种相关联的量,用k表示它们的比值,正比例关系可以用这样的式子来表示:  = K(一定)。

例2、(判断是否成正比例)

练习本的单价一定,买练习本的数量和总价是不是成正比例?为什么?

分析与解:根据正比例的意义,看两个变量的比值是否一定,如果两个变量的比值一定,那么这两个变量就成正比例,反之,则不成正比例。

买练习本的数量和总价是两种相关联的量,它们与练习本的单价有下面的关系:

  = 练习本的单价(一定)

所以练习本的数量和总价成正比例。

例3、(正比例的图像)磁悬浮列车匀速行驶时,路程与时间的关系如下。

时间/分 1 2 3 4 5 6  7 ……

路程/千米 7 14 21 28 35 42 49 ……

(1)图中的点A表示时间为1分钟时,磁悬浮列车驶过的路程为7千米。请你试着描出其他各点。

(2)连接各点,它们在一条直线上吗?

(3)根据图像判断,列车运行2分半钟时,行驶的路程是多少千米?行驶30千米大约需要几分钟?  路程/千米

42 

35 

28 

21 

14 

7   ●A

0

     1  2  3  4 5  6  7 时间/分

分析与解:根据提供的各组数据描出图像的许多个点,再依次连成直线。路程和时间相对应的数的比值都是7,即速度一定,路程和时间成正比例,图像是一条直线。对照图像,可以根据时间的值估计出路程的值,也可以根据路程的值估计出时间的值,估计时允许有一定的出入。

(1)描点、连线如图。

               路程/千米

42                 ● 

35              ● 

28           ● 

21        ● 

14      ● 

7   ●A

0

     1  2  3  4 5  6  7 时间/分

(2)在一条直线上,因为路程和时间成正比例,正比例的图像是一条直线。

(3)根据图像,列车运行2分半钟时,行驶的路程是17.5千米;行驶30千米大约需要4.3分钟。

例4、(辨析)圆的周长和直径成正比例,圆的面积和半径成正比例?

分析与解:圆的周长和直径成正比例,而圆的面积和半径却不成正比例。

可列表判断。

半径/cm 1 2 3 4 5 6 ……

直径/cm 2 4 6 8 10 12 ……

周长/cm 6.28 12.56 18.84 25.12 31.4 37.68 ……

面积/cm² 3.14 12.56 28.26 50.24 78.5 113.04 ……

圆的周长和直径的相对应的数的比值都是3.14,所以圆的周长和直径成正比例。而圆的面积和半径的相对应的数的比值是变化的,所以圆的面积和半径不成正比例。

圆的周长和直径成正比例,圆的面积和半径却不成正比例。

例5、(反比例的意义)

下表是王师傅加工一批零件时,每小时加工零件个数随时间变化的情况。这两种量有什么关系?

每小时加工零件的个数/个 20 30 40 60  80 ……

加工的时间/时 12 8 6 4 3 ……

分析与解:(1)从上表可以看出,表中有每小时加工零件的个数和加工的时间两种量。(2)从左往右看,每小时加工零件的个数扩大,加工的时间反而缩小;从右往左看,每小时加工零件的个数缩小,加工的时间反而扩大。所以它们是两种相关联的量。(3)每小时加工零件的个数和相对应的加工的时间的积都始终不变,如20 × 12 = 240,30 × 8 = 240,40 × 6 = 240……而这个积就是这批零件的总个数。

通过观察和计算,我们发现:每小时加工零件的个数和加工的时间是两种相关联的量,每小时加工零件的个数随着加工的时间变化而变化,但无论它们怎么变化,相对应的积是一定的,有这样的关系:每小时加工零件的个数 × 加工的时间 = 零件的总个数(一定)。

所以每小时加工零件的个数和加工的时间成反比例的量,它们之间的关系叫做反比例关系。

点评:判断两种量是不是成反比例,和正比例一样,分三步:一看它们是不是相关联的两种量;二是看一种量变化,另一种量是不是也随着变化;满足了前面两个条件,再看它们的乘积是否一定,进行判断。不要省去任何一步。如果用字母x和y分别表示两种相关联的量,用k表示它们的比值,正比例关系可以用这样的式子来表示:xy = K(一定)。

例6、(判断是否成反比例)

总产量一定,每公顷的产量和公顷数是不是成反比例?为什么?

分析与解:根据反比例的意义,看两个变量的乘积是否一定,如果两个变量的积一定,那么这两个变量就成反比例,反之,则不成反比例。

每公顷的产量和公顷数是两种相关联的量,它们与总产量有下面的关系:

每公顷的产量 × 公顷数 = 总产量(一定)

所以每公顷的产量和公顷数成反比例。

例7、(辨析)和一定,一个加数和另一个加数成反比例。

分析与解:判断两个变量是否成反比例,关键是看两个变量的乘积是否一定。很明显,和一定,两个加数的积是变化的,所以它们不成反比例。

和一定,一个加数和另一个加数不成反比例。因为它们的积不一定。

点评:有些相关联的量,虽然也是一种量变化,另一种量也随着变化,但它们不是积一定,也       不是比值一定,它们就不成比例。像这样的还有:人的跳高高度和身高;减数一定,被减数和差等。

例8、(综合题1)

(1)长方形的面积一定,长和宽成反比例吗?为什么?

(2)长方形的周长一定,长和宽成反比例吗?为什么?

分析与解:判断时可以用列表的方式列举数据,也可以根据计算的公式来推导。

(1)因为长方形的长 × 宽 = 长方形的面积(一定),所以长和宽成反比例。

(2)长方形的周长 = (长+宽)× 2 ,长方形的周长一定,长+宽的和一定,但不是积一定,所以长和宽不成反比例。

例9、(综合题2)

分别说明大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中,每两种量的比例关系。

(1)大米的总千克数一定,每天吃的千克数和天数;

(2)每天吃的千克数一定,大米的总千克数和天数;

(3)天数一定,大米的总千克数和每天吃的千克数。

分析与解:在大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中,当某一种量一定时,另外两种量可能成正比例关系,也可能成反比例关系。可以根据数量关系式来判断。

(1)因为每天吃的千克数 × 天数 = 大米的总千克数(一定),所以大米的总千克数一定时,每天吃的千克数和天数成反比例。

(2)因为  = 每天吃的千克数(一定),所以每天吃的千克数一定时,大米的总千克数和天数成正比例。

(3)因为  = 天数(一定),所以天数一定时,大米的总千克数和每天吃的千克数成正比例。

小学数学总复习专题讲解及训练(八)

模拟试题

1、仔细观察每张表格,思考表格中两种量之间有关系吗?有什么关系?为什么?

表格1

数量/本 1 3 6 8 10 20 ……

总价/元 4 12 24 32 40 80 ……

表格2

单价/元 1.5 2 3 4 5 6 ……

总价/元 6 8 12 16 20 24 ……

表格3   用60元钱购买笔记本,笔记本的单价和可以购买的数量如下表:

单价/元 1.5 2 3 4 5 6 ……

数量/本 40 30 20 15 12 10 ……

2、用一批纸装订练习本,每本25页,可以装订400本。如果要装订500本,每本有X页。

题中(     )量一定,关系式:(    )○(    )=(   )(一定),(    )和(   )成(   )比例。

3、一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺,需要640块。如果改用边长0.4米的正方形地砖,需要Y块。

题中(       )量一定,关系式:(      )○(      )=(     )(一定),(    )和(     )成(    )比例。

4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中

   当底面周长一定时,(   )与(   )成(  )比例;

   当高一定时,(   )与(   )成(   )比例;

   当侧面积一定时,(   )与(   )成(   )比例。

5、在被除数、除数、商这三种量中,

   当(   )一定时,(   )与(   )成正比例;

   当(   )一定时,(   )与(   )成反比例;

6、当 a × b = c( a、b、c 为三种量,且均不为0)。

 (   )一定,(   )与(   )成(   )比例;

(   )一定,(   )与(   )成(   )比例;

(   )一定,(   )与(   )成(   )比例;

7、判断。

(1)、工作总量一定,工作效率和工作时间成反比例。(      )

(2)、图上距离和实际距离成正比例。(       )

(3)、X和Y表示两种变化的相关联的量,同时5X-7Y=0,X和Y不成比例。(      )

(4)、分数的大小一定,它的分子和分母成正比例。          (     )

(5)、在一定的距离内,车轮周长和它转动的圈数成反比例。  (     )

(6)、两种相关联的量,不成正比例,就成反比例。          (     )

(7)订阅《小学数学评价手册》的份数与所需钱数成正比例。   (     )

(8)在400米赛跑中,跑步的速度和所用时间成反比例。       (     )

(9)工作总量一定,已完成的量和未完成的量成反比例。       (     )

(10)正方体的棱长和体积成正比例。                        (     )

(11)被除数一定,除数和商成反比例。                      (     )

(12)圆的周长和它的直径成正比例。                        (     )

8、判断下面每题中的两种量是不是成比例,如果成比例,成什么比例。

(1)、装配一批电视机,每天装配台数和所需的天数(         )。

(2)、正方形的边长和周长(           )。

(3)、水池的容积一定,水管每小时注水量和所用时间(               )。

(4)、房间面积一定,每块砖的面积和铺砖的块数(              )。

(5)、在一定时间里,加工每个零件所用的时间和加工零件的个数(           )。

(6)、在一定时间里,每小时加工零件的个数和加工零件的个数(              )。

9、思考:明明三岁时体重12千克,十一岁时体重44千克。于是小张就说:“明明的体重和身高成正比例。”你认为小张的说法对吗?为什么?

10、某造纸厂每小时造纸1.5吨,2小时、3小时┈┈各造纸多少吨?

(1)把下表填写完整。

造纸时间/时 1 2 3 4 ……

造纸吨数/吨 1.5 ……

(2)根据表中的数据,在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点,再把它们连起来。             吨数/吨

6  











0

     1  2  3  4 5  6  7 时间/时

(3)造纸吨数与造纸时间成正比例吗?为什么?

(4)根据图像判断, 5小时造纸多少吨?

参考答案:

1、仔细观察每张表格,思考表格中两种量之间有关系吗?有什么关系?为什么?

表格1

数量/本 1 3 6 8 10 20 ……

总价/元 4 12 24 32 40 80 ……

  = 4,  = 4,  = 4  ……

因为  = 单价(一定),所以单价一定时,总价和数量成正比例。

表格2

单价/元 1.5 2 3 4 5 6 ……

总价/元 6 8 12 16 20 24 ……

  = 4,  = 4,  = 4  ……

因为  = 数量(一定),所以数量一定时,总价和单价成正比例。

表格3   用60元钱购买笔记本,笔记本的单价和可以购买的数量如下表:

单价/元 1.5 2 3 4 5 6 ……

数量/本 40 30 20 15 12 10 ……

1.5 × 40 = 60 ,2 × 30 = 60 ,4 × 15 = 60  ……

因为单价 × 数量 = 总价(一定),所以总价一定时,单价和数量成反比例。

2、用一批纸装订练习本,每本25页,可以装订400本。如果要装订500本,每本有X页。

题中(   纸的总页数  )量一定,关系式:(  每本页数  ) × ( 装订本数 )=( 纸的总页数  )(一定),(  每本页数  )和(  装订本数 )成(  反  )比例。

3、一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺,需要640块。如果改用边长0.4米的正方形地砖,需要Y块。

题中(  会客室地面面积 )量一定,关系式:( 每块砖的面积 )×(  砖的块数  )=(  会客室地面面积   )(一定),(  每块砖的面积  )和(  砖的块数   )成(  反  )比例。

4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中

   当底面周长一定时,( 侧面积  )与( 高  )成(正)比例;

   当高一定时,(  侧面积 )与(  底面周长 )成(正)比例;

   当侧面积一定时,(   底面周长 )与(  高 )成(  反 )比例。

5、在被除数、除数、商这三种量中,

   当( 除数  )一定时,(  被除数 )与(  商 )成正比例;

   当( 被除数  )一定时,(  除数  )与(  商  )成反比例;

6、当 a × b = c( a、b、c 为三种量,且均不为0)。

 (  c  )一定,(  a )与(  b )成(  反  )比例;

(  a )一定,(  c )与(  b )成(  正 )比例;

(  b )一定,(  c )与(  a )成(  正 )比例;

7、判断。

(1)、工作总量一定,工作效率和工作时间成反比例。       ( √ )

(2)、图上距离和实际距离成正比例。                     (  × )

(3)、X和Y表示两种变化的相关联的量,同时5X-7Y=0,X和Y不成比例。(   ×   )

(4)、分数的大小一定,它的分子和分母成正比例。          (  √   )

(5)、在一定的距离内,车轮周长和它转动的圈数成反比例。  (  √  )

(6)、两种相关联的量,不成正比例,就成反比例。          (  ×  )

(7)订阅《小学数学评价手册》的份数与所需钱数成正比例。   (  √  )

(8)在400米赛跑中,跑步的速度和所用时间成反比例。       (  √  )

(9)工作总量一定,已完成的量和未完成的量成反比例。       (  ×  )

(10)正方体的棱长和体积成正比例。                        (  ×  )

(11)被除数一定,除数和商成反比例。                      (  √  )

(12)圆的周长和它的直径成正比例。                        (  √ )

8、判断下面每题中的两种量是不是成比例,如果成比例,成什么比例。

(1)、装配一批电视机,每天装配台数和所需的天数(   反比例      )。

(2)、正方形的边长和周长(   正比例        )。

(3)、水池的容积一定,水管每小时注水量和所用时间(     反比例         )。

(4)、房间面积一定,每块砖的面积和铺砖的块数(      反比例        )。

(5)、在一定时间里,加工每个零件所用的时间和加工零件的个数(  反比例  )。

(6)、在一定时间里,每小时加工零件的个数和加工零件的个数(  正比例  )。

9、思考:明明三岁时体重12千克,十一岁时体重44千克。于是小张就说:“明明的体重和身高成正比例。”你认为小张的说法对吗?为什么?

答:小张的说法是错误的,体重和身高不是两种相关联的量,体重和身高不成比例。

10、某造纸厂每小时造纸1.5吨,2小时、3小时┈┈各造纸多少吨?

(1)把下表填写完整。

造纸时间/时 1 2 3 4 ……

造纸吨数/吨 1.5 3 4.5 6 ……

(2)根据表中的数据,在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点,再把它们连起来。             吨数/吨

6           ●  





3      ● 



1     

0

1  2  3  4 5  6  7 时间/时

(3)造纸吨数与造纸时间成正比例吗?为什么?

因为  = 每小时造纸吨数(一定),所以每小时造纸吨数一定时,造纸吨数与造纸时间成正比例。

(4)根据图像判断,5小时造纸多少吨?

根据图像判断,5小时造纸7.5吨

 

·语文课件下载
·语文视频下载
·语文试题下载

·语文备课中心




下载该资料的word文档
(内含完整公式图片)

点此察看与本文相关的其它文章』『搜索相关课件


上一篇】【下一篇  【教师投稿】 
本站管理员:尹瑞文 微信:13958889955