| 教学内容：圆的周长 备课资料(青岛版五年级第十册) |
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信息窗二： 1、2、信息窗的介绍：该信息窗呈现的是天坛的主体建筑——祭天台和祈年殿，并以文字形式介绍了祭天台和祈年殿的有关数据信息。通过“祭天台上层的周长是多少呢？”这一问题，引发对圆周长有关知识和计算方法的探索。 天坛中的数据: 是明、清两代帝王祭天祈谷之处，始建于明永乐十八年(1420年)，是我国现存最大的古代祭祀性建筑群，有恒墙两重，形成内外坛，坛墙南方北圆，象征天圆地方。祈年殿是其主体建筑，是按照“敬天禮神”的思想設計的。殿呈圓形﹐象徵天圓。瓦用藍色﹐象徵藍天。殿高九丈九﹐九九代表“天數”。殿頂周長30丈﹐表示一個月30天。殿內柱子的數目﹐也是按照天象建立起來的。整座大殿由28根木柱子分三圈支撐﹐由里嚮外﹐以4﹑12﹑12三個數字排列。古代中國天文學家將周天黃道恆星分成28個星宿（即星座）﹐裡面一圈4根龍井柱象徵一年四季﹔中間一層的12根楹柱﹐象徵一年﹔外面一圈12根楹柱﹐代表一天中的12個時辰，同時﹐中間和外圈的柱子數之和又象徵中國農曆一年有24個節令。 天壇的圜丘臺﹐祭壇所用石料數目﹐都與“九”有關。上層直徑9丈﹐中層15丈﹐下層21丈﹐都為奇數（陽數）以符“天為陽”之說。三層之和為45丈﹐不但是九的倍數﹐還含有“九五之尊”的意思。 例题的设置： 红点部分是探索圆周率及圆的周长计算方法 绿点部分是圆周长计算公式的应用。 3、信息窗的教学建议： 第一，从情境图引入教学内容。 北京天坛，有的学生亲自游览过，有的学生通过其它的方式也可能对它有所了解，教师可让学生做一下交流。如果学生了解不多，教师可以做适当介绍。借助图中文字信息提出数学问题，引入对圆周长知识的探索。 第二，在教学中，应突出学生参与知识的形成过程。 “圆的周长的计算公式的推导”。这是一个传统的教学内容，基本思路是从圆的周长和直径的关系入手，使学生知道圆的周长和直径的比值是一定的。求出圆周率后，根据这一关系推导出计算公式，教材基本上是这样编排的。圆的周长公式在数学史上是怎样推导出来的呢？是刘徽用“割圆术”的方法，其实也就是利用正多边形的周长和直径的比值关系求出来的。圆的周长其实是无法直接得到，他利用计算圆内接正多边形的周长与直径的关系求出圆周率。按理说最理想的过程应该按这样的思路教，但学生受其知识范围的影响，我们不可能按这样的方式进行教学，所以教材采用试验的方式，通过测量大小不同的几个圆的周长，看看所得出的圆的周长和直径的比值，再说明圆的周长和直径的比值是个常数。这样的编排是非常符合学生的认知特点的。所以在教学中，教师不要急于把圆的周长公式呈现给学生，而应该让学生想法去测圆的周长，学生会想出很多方法：围一围，滚一滚，剪一剪。但同时也发现这些方法都有一定的局限性，并不是所有的圆都可以拿来围一围，滚一滚……这样学生就会想去寻求一种求周长的一般化的方法。这时，提出圆的周长和什么有关？学生进行猜测后再进行测量活动。在学生得出周长和直径的比值后（测量有误差，结果不可能完全相同，但基本都应在三点多），针对这种情况，教师要对试验数据进行说明，数学家研究出来这个比值是个常数，即圆周率。它是个无限不循环小数。从而让学生感受到他们的研究是有价值的。由c÷d=π最终推导出圆的周长公式。 在此，教师可结合教材中的圆周率的介绍及祖冲之的资料向学生介绍有关圆周率的历史。也可以补充介绍刘徽关于圆周率的计算方法。1700年前的三国时，刘徽首次发明“割圆术”，将圆割成3072边形，计算出圆周率是3.14159;1500年前南北朝时的祖冲之在此基础上进一步计算到小数点后七位3.1415926-3.1415927之间,他的计算方法无从考证,如按割圆术推算,就是将圆割成16000多边形. 第三，在让学生根据圆周长公式计算时应提醒学生注意：（1）不必写出公式，直接计算就可以了；（2）π取两位小数为3.14,已作为一般数值处理,计算结果不必再用“≈”表示，但在判断“周长是直径多少倍”时，仍应说“π倍”而不是“3.14倍”(考试时应避免类似的题目,对于同一个圆的抠字眼的题目也应避免)（3）计算结果除不尽时，得数一般保留两位小数。 4、练习的分析 学习完新知后可与学生一起归结一些π的倍数值，通过课前口算等活动，让学生熟练掌握并记住，提高计算速度和正确率。1π≈3.14 2π≈6.28 3π≈9.42 4π≈12.56 5π≈15.7 6π≈18.84 7π≈21.98 8π≈25.12 9π≈28.26 10π≈31.4记住以上倍数，可以使有关π的计算简便。例如：15π＝10π+5π≈31.4+15.7=47.1 第4题：是一道运用圆周长的公式解决实际问题的题目。练习时，可以用实物进行演示，让学生弄清时针走一圈，就是求半径12厘米的圆的周长。而分针走1小时，实际也是绕钟面走了一圈，就是求半径18厘米的圆的周长。 第5题：是一组辨析题。练习时，先让学生独立地判断并加以解释。第（4）题学生比较容易出现，可借助图引导学生理解半圆的周长与圆周长的一半的区别，让学生明白：半圆的周长=πr+d，圆周长的一半=πr。适当补充求半圆周长的练习题. 第7题：是灵活运用圆周长公式解决实际问题的题目。要让学生通过讨论、交流明白求篱笆的长度其实就是圆周长的一半。此题的答案是：（1）3.14×5÷2=7.85（米）,（2）3.14×(5+2)÷2－7.85=3.14（米）. 第9题：是综合运用圆周长的知识解决实际问题的题目。第（1）题求最多能制作多少个铁环，需先求出每个铁环需要多长的钢筋，也就是先求铁环的周长。然后用钢筋的总长度除以一个铁环的周长求出制作的个数。这里还需要提醒学生注意统一单位，最后的计算结果要结合实际用“去尾法”取近似值。第（2）题解题思路与第（1）题相反，先求出每个铁环的周长，然后用每个铁环的周长乘20个，求出需要钢筋的总长度。最后的计算结果要用“进一法”取近似值。在教学中要注意对两种取近似值的方法进行比较，体会“最多”与“至少”的含义。 第10题：是一道综合性的练习题。学生很容易受以前所学的“植树问题”的干扰。练习时，可引导学生用画图的方法理解题意，使学生明白在水池四周种树就是在封闭的圆上种树，种树的棵树与间隔数相同。答案：1.57×40÷3.14÷2=10(米) 第12题是一道思考题。难度比较大。教师可以画一个横截面图帮助学生理解。捆扎铁丝一圈的长分为直线长和曲线长两部分，一段直线部分的长为钢管直径的长，一段曲线部分的长为钢管周长的1/4。答案：（10×4+3.14×10）×2=142.8(厘米)。 信息窗三：航空中的圆 1、教学内容：圆的面积 2、信息窗介绍：该信息窗呈现了杨利伟和“神舟”五号飞船的图片；并用文字出示了飞船预设降落范围的半径和实际降落范围的半径。从而引导学生提出问题。 降落范围:不妨把降落地看作一个耙，我们的飞船降落的就是在几环的耙上，神舟飞船的落点范围精确在了正负10公里左右，这相当于打靶发十环的水平，而俄罗斯的水平是30多公里。 例题的设置。 第一个红点部分：学习圆面积的计算方法。 第二个红点部分：学习环形面积的计算方法。 3、信息窗教学建议： 第一，结合情境图，谈话导入。 课始，教师可以用谈话的方式让学生回忆2003年10月15日，我们国家在航天领域发生了一件令国人振奋、自豪和骄傲的大事。相信很多学生一定会马上想到“神舟五号”的成功发射。教师可以顺势引出情境图，并结合提供的文字信息，引导学生提出有关降落范围的问题。 第二，教师引导学生经历探究过程,体会数学的思想方法。 圆面积公式的推导是教材中的重点和难点.对此,教材提供了以下的教学思路：（1）由现实问题转到数学问题，即求神五预先设定的降落范围其实就是求以降落点为圆心，以10千米为半径的圆的面积。（2）联想。联系已经过的探索的一些方法，想到可以把圆转化成已学过的图形来研究。（3）实验。第一个框中,学生受圆认识窗后第11题的启发,会在圆里面或外面画一个正方形，发现圆的外面画一个正方形，圆的面积比正方形面积小一些；在圆内画一个正方形，圆的面积比正方形面积大一些。(可能会发现圆的面积是在2rr_4rr之间).第二个框是承接第一个框的思路，思维进一步，如果将外面的正多边形一点点地缩进去，将里面的正多边形一点点地扩出来，不是与圆的面积越来越接近吗?渗透了极限的思想，使学生体会到多边形的边数越多，正多边形的面积就会无限地接近于圆的面积。但是这里不容易推导出圆的面积。第三个框是在第二个框的基础上,将分割成的一个个的小扇形进行拼接，形成近似的长方形。（4）推导。利用拼成的图形与圆的面积等关系，推导出圆面积计算公式。（5）应用。利用推导出的面积公式，计算出神五的预定降落范围。 第三，教学第二个红点标示的问题时，可让学生独立画图，独立解决，集体交流。让学生借助图明确所求问题实际就是求环形的面积。也就是求两个圆面积之差。在计算时学生会出现两种情况：一种是3.14×102－3.14×52,另一种是3.14×(102－52);第二种情况,学生往往出错较多,列式为3.14×(10－5)2,应及时给予纠正. 教学中注意问题： 学生在探索圆面积计算公式时可能要花费相当长的时间，仅仅就是推导方法就得用一节课，甚至也不充足。哪里还顾得上去利用面积公式进行面积计算？遇到这样的问题，我们可以从以下方面进行认识： （1）不得因时间不够而删减过程性的探索.有利于学生后续发展的东西要下足功夫，甚至用夸张的手法进行突出的表现。学生学过的一些知识在多年之后就会被忘记了，而沉淀下来的却是那些学习的思想和方法。因而对于这些终生受益的东西我们在课堂上要不惜时间去渲染，让学生去深入地体会。比如圆面积这节课就可以将“现实问题——数学问题——联想——实验——总结”这个的过程随着学生的一步步进程而板书在黑板上，之后再安排一个环节进行回顾，整理推导的过程。教材安排了回顾整理，其中之一就是对化曲为直、化圆为方方法的回顾，就是着力于这种思想方法的及时总结。 （2）统筹安排单元的课时。将整个单元的知识进行统筹安排，打破从知识点安排的传统习惯。前面的课时安排就是遵照这个原则进行的。这样安排使得既完成了教学任务又能突出我们的意图。 （3）加强集体备课。教研组或备课组要加强集体备课，共同讨论出最优化的授课思路进行共享。这样可以利用有限的时间达到最优的教学效果。 4、练习的分析 第6题，通过估算荷叶的面积渗透估测近似于圆形物体面积的方法，即先估计直径，再估算面积。 第7题：是灵活运用所学知识解决问题的题目。首先让学生明确只有圆的直径等于长方形的宽时，切割的圆的面积才最大。答案：（1）3.14×(2÷2)2=3.14(m2)；（2）3×2—3.14=2.86(m2)。 第9题，通过图示使学生理解求喷灌面积就是求半径是8米的圆的面积。 第12题：可引导学生通过先画示意图，明确求增加部分的面积就是用扩建后的面积减去原来的面积。特别注意求扩建后圆的半径是（30÷2+5）米。答案：3.14×（30÷2+5）2—3.14×（30÷2）2=549.5(m2)。 第13题：是一道找规律的题目，旨在让学生发现求个位数是5的数的平方的规律。教师先引导学生根据已有的五个算式找出规律,即先写上个位前面的数乘以比它大1的数的积，再写上25。再利用规律进行填空.教师可建议学生掌握这个规律，以提高计算速度。 第※14题，引导学生通过分析发现：涂色部分的周长就是大圆周长的一半加上一个小圆的周长,也就是大圆的周长;面积就是直径为0.8米的圆面积的一半。 课外实践：让学生综合运用所学的有关图形的知识开展研究性活动。活动中要求学生做到：第一，准备好使用的铁丝。铁丝最好找软的、细的，这样折起来比较方便。第二，小组成员做好分工；第三，活动中尽量把图形围的准确，规范，认真进行测量与计算，(可借助于计算器进地计算)并做好记录；第四，交流讨论，使学生发现铁丝的长度（周长）一定，所围成的各种图形中圆形的面积最大。 回顾整理：包括回顾整理和综合练习两部分内容。回顾整理是以综合信息图的形式呈现，分上下两部分。上半部分整理圆的基本知识，以及推导圆周长和圆面积的方法；下半部分是用圆的知识解决实际问题。 综合练习第6题：是利用圆的知识解决自然现象中的数学问题。练习时，可通过实验理解题意，即水波传送的距离就是圆的半径，水波的面积就是圆的面积；求哪种物体产生的水波面积大，大多少就是用大圆的面积减去小圆的面积,也可以用求环形面积的方法来解决。 第7题， 26型和28型是自行车的两种规格（用英制的长度单位英寸来表示的自行车车轮直径），这里可向学生作以简单介绍。第（1）小题可以分别求出两种自行车的车轮周长，然后再求比；也可以根据直径与周长的关系，直接得出周长的比是16：17。第（2）小题，要先分别求出两种自行车转动一周的行的路程,也就是分别求出周长,再进行比较. (教参与教材不符) 第8题是求组合图形面积的题目。一方面要注意引导学生体会图形之间的联系，另一方面要求学生能熟练地运用不同图形面积公式进行计算。 第10题：是一道综合运用所学知识解决实际问题的题目。练习时，可先让学生独立解决，然后进行交流。交流时注意让学生说清楚解决问题的思路，即要求扩建后圆形花坛的周长与面积，需要先求出扩建后的直径。答案：15÷34 =20（米）周长：3.14×20=62.8（米）面积：3.14×（20÷2）2=314（平方米）。 第11题是实际操作并计算的题目。测量时，教师要提醒学生注意测量的方法（数据可能有误差），测量后向学生介绍硬币的实际直径。计算后，引导学生观察计算结果，体会半径、周长、直径的比是相等的，而面积比是半径比的平方。 第※12题，是一道选做题，不作考试内容。答案：（1）大圆的周长是18.84厘米，两个小圆周长的和是18.84厘米，发现它们的周长是相等的。（2）大圆的面积是28.26平方厘米，两个小圆面积之和是14.13平方厘米。发现大圆的面积是两个小圆面积之和的2倍。 “你知道吗？”呈现的是生活和生产中的一些圆形，意在让学生感受圆的魅力。教学时，可让学生去进一步地发现生活中哪些物体的形状是圆形的，也可以进一步地拓展，让学生去探究锅底、井盖等为什么是圆形的。作为小型的实践活动。 相关链接：
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