数学课堂的数学味 (人教版四年级第八册)

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 数学课堂的数学味

作者:富源县大河镇脑上小学   杨 波

 

在几年来的教学实践与探索中,我始终注重数学课堂的数学味研究,在教学中不断挖掘、呈现、彰显数学内容自身的数学味。下面举几则案例,谈谈自己的一点教学体会。

一、“交换律”一课的教学实践。如果单纯地由具体现实情境引出3+6=6+3,并引发学生形成猜想:“是否任意两数相加,交换位置后和都不变?”进而引导学生通过举例,试图验证猜想,并最终得出相应的结论。虽然这个教学过程轮廓清晰,思路泾渭分明,探讨的主要问题也基本在数学范畴内展开,但不能充分体现数学课堂的数学味。我们要做更进一步的思考,即数学课堂上的数学味显然不应该仅停留在表层,应该注重数学内容、数学方法及数学思想的实质等更里层问题的探讨。从而,在试图对本课进行重新梳理时,下述问题自然就成了我关注的兴奋点:“由仅有的一个例子鼓励学生提出猜想是否适宜?”“什么是数学上的不完全归纳法?”“对四年级学生来说,试图用不完全归纳法获得结论,举出多少个例子比较合适?”“例子越多越好吗?”“怎样的例子是好的例子,怎样的例子是不好的例子?”“举例验证猜想时,我们要不要关注反例?反例对猜想意味着什么?”进而,“举例的过程仅仅是一个模仿与复制的过程,还是一个主动思考并进行试探与甄别的过程?”“经由不完全归纳法所给出的能不能算作结论?如果不算,小学课堂该不该引入必要的证明?”在具体的教学语境中,好的数学味一定还伴随着必要的儿童视角和立场!

二、“分数的意义”一课的教学实践。一节经典的老课,教学线索与理路也基本定型。但在试图对数学内涵进行深入梳理时,不经意间却被几个小问题所梗住:把单位“1”平均分成若干份,表示其中一份或几份的数是分数,这是分数意义的形式化表达,可这里的单位“1”究竟是什么?数学上,为什么我们把这些平均分的对象叫做单位“1”,而不是别的什么名称,比如整体“1”或是对象“1”?称其单位“1”究竟只是一种纯粹的数学规定,还是另有其数学的合理性?进而,与百分数不同的是,分数既可以表示两个量之间的倍比关系,还可以表示一个具体的数,用数学上的专业术语来讲,分数既有其无量纲性,同时还具有量纲性。事实上,理解到这一点,对于未来学生更深入地理解分数的实质,以及对分数直接进行大小比较(不提供直观图的情况下)、分数和小数的互化以及理解分数乘除法实际问题的数量关系等,无疑具有重要的意义。然而,反观各版本教材,在安排这一内容时所选择的素材与呈现的情境,仍局限在“部分与整体的关系”这单一的维度,即分数的无量纲性上,分数始终只是在“把整体看作1时,其中的一部分如何用数学符号来表征”的情境下得以呈现的,而其所理应具备的有量纲性的一面,却未能在具体的教学编排中得到相应的体现。事实上,由无量纲性向着有量纲性的跨越对学生来说是有一定的难度的,默认这种跨越可以自然而然地生成,实际上缺乏理论的支撑,在实践层面也不具备说服力。此外,教材在编排分数意义这一内容时,似乎对如何更好地沟通分数、1及整数之间的关系也缺乏必要的关注,从而,“分数的意义”一课在许多时候还只停留在就分数论分数的层面,对于如何促进学生更好地形成有关数的整体认知图景,还缺乏相应的实践指导。

由此,笔者执教这一内容时,由对单位“1”的探讨引入:先引导学生认识“1”这个数的包容性,即所谓“1个梨可以看做1,3个梨也能看做1,6个、12个梨同样能看做1”。然后经由讨论,使他们进一步理解到,一旦在某一语境下,我们将3个梨看做了“1”,那么,6个或12个梨通常就不再看做“1”,而应该看做“2”或“4”了。理由很简单,3个梨既已看做“1”,6个梨中包含2个这样的“1”,当然就是“2”,12个梨亦然。事实上,在上述情境及过程中,我们已然发现,3个梨所构成的“1”其实已经成为一个计数或计量的单位,此时,称其为单位“1”已是自然而然的事了。

三、“平均数”一课的教学实践。作为反映一组数据整体水平的一种统计量,平均数与众数及中位数既有相似之处,又有明显的不同。无疑,如何将平均数置于统计的角度来审视,并努力开掘出其应有的统计意义与价值,当是这节课首要关注的问题。教材多采取“比较”的情境,由于“两组人数不均的小组开展相应比赛,比总数不公平,所以应比平均每人的个数”,由此引入平均数。但在备课过程中,随着思考的不断深入,新的问题不断涌现。首先,作为一个重要的统计学概念,平均数是否首先或主要地源自于比较的现实需求?其次,“平均每人投中的个数”和“每人投中个数的平均数”之间是否可以直接画上等号?再者,平均数既是统计学中的一个重要概念,那么,其诞生理应处于一个统计的活动背景之中,这是比较合理的一种预期。为此,设计教学时,我微调了教材中的情境结构,通过呈现如下的活动序列,将平均数重新置于统计背景下,并力图还原其作为“一组数据的代表”的角色与身份,再现平均数的本来面目。

    老师和小明、小红、小强进行一分钟投篮赛,以每分钟进球多少论胜负。

小明先投,结果一分钟仅投中5个,他不满意自己的成绩,提出想再投两次的要求。老师该不该同意他的要求?经过讨论并最终获得同意后,小明再投,结果第二、三分钟均投中5个。此时引导思考:小明一分钟究竟能投中几个?用哪个数表示他一分钟的成绩比较合适?为什么?

小红第二个出场,结果一分钟投中3个,他会提出怎样的要求?当征得同意后,他第二、第三分钟分别投中4个、5个。引导思考:3次成绩各不相同,用哪个数表示小刚一分钟的个数比较合适?为什么?

小强第三个出场,3分钟各投中3个、7个和2个。此时,又该用哪个数表示他一分钟的水平?为什么?至此,在“移多补少”的直观操作和“先合并再均分”的抽象算法的基础上,揭示平均数,并帮助学生认识到平均数对于描述一组数据的整体水平的意义。

老师最后出场,一开始便提出“水平不行,想投4次”的打算,如果是你,你会同意老师的请求吗?在征得同意后,老师前3分钟的成绩分别是4个、6个、5个,你觉得最后老师会赢得这场比赛吗?为什么?出示第四次成绩(1个)后,学生再度讨论:老师赢了没有?为什么输了?如果最后一次投中5个或者9个,结果会怎样?等等。至此,概念建立告一段落。

回顾上述环节,同样是比赛的主题情境,但其根本立场和视角已然发生转变。其一,由于相关数据是由同一个体所产生,求其总数显然不具备充分的现实意义,而相对来说,从产生的这组数据中选择一个或“另外创造”一个以代表这组数据的一般水平,对学生而言似乎更容易理解。其二,情境中大量充斥着“他想再投两次,该不该给他这个机会?”“老师想多投一分钟,行还是不行?”“你觉得老师最后一定会赢吗?”“最后,老师为什么反而输了?”这样的问题,看似与平均数无关,但实则高度相关。仅以第一问为例,当小明一分钟投完仅得5个时,我们究竟该不该让他再投两分钟?试想,当学生最终通过讨论与思维交锋,同意小明的这一请求时,对学生而言,这究竟意味着什么?——投篮的次数并不是决定最后输赢的关键要素,多次成绩背后所呈现出的一组数据的分布、离散情况及其所反映出的一般水平,才最终决定着一个人的实际水平,并最终决定着他的输赢。试想,经由这样的思考、获得类似的体验后,学生如何能够不对平均数获得更为丰富的理解和把握呢?

同样在对教学内容进行深入思考与内涵开掘后,本课选择了以儿童能够悦纳的一种姿态介入——游戏、讨论、对话、思辨。尽管教师于其中也有竭力想传达和渗透的教学意图和数学内涵,但避开了抽象的说教和示范,而是选择了以一种更具亲和力、更富情境化的思维场域,让学生在思考、交流的过程中去获得相关体验、领悟相关意图、获得某种建构。具有良好数学内涵的课堂,一定是深入浅出的,它能够将教师领悟到的深刻的数学理解以一种平和的、学生可以理解并悦纳的姿态介入课堂活动,并努力在数学内涵与儿童趣味之间找到一种良好的平衡。

    作者简介:杨波,女,汉族,出生于1982年3月,中共党员,云南省富源县竹园镇人,小学一级教师,本科文化,西南师范大学汉语言文学专业,现在富源县大河镇脑上小学任教,教学科目为五年级数学。

 
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