正比例和反比例(教师中心专稿)
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申晋良

教学目标：

1． 使学生理解解比例的意义。

2． 使学生掌握解比例的方法，会解比例。

教学重点：使学生掌握解比例的方法，学会解比例。

教学难点：引导学生根据比例的基本性质，将比例改写成两个内项积等于两个外项积的形式，即已学过的含有未知数的等式。

一、复习准备

教师：我们已经学习了比例的一些知识，谁能说说掌比例的基本性质是什么？

教师：请同学们灵活运用所学的知识来判断下面哪一组中的两个比可以组成比例。（投影）

教师：根据比例的知识，你会在括号里填上合适的数吗。（先完成练习纸上的题目，再逐题说说是怎样想的。）

教师：括号里该填什么数呢？填好后在小组内互相说说你的理由。（学生完成，教师巡视，再汇报）

二、导入新课

1、观察比较。

你发现这四题有什么共同点吗？请与小组内的 同学讨论讨论。（学生汇报） 象这样如果已知比例中的任何三项，就可以根据比例的基本性质求出比例中的另外一个未知项。求这个未知项的过程就叫做解比例。（板书课题）就选用刚刚做过的两题吧。（课件演示）如果这个未知项用字母x表示，这是我们今天要学习的内容。先来看第一题。（演示）

三、教学新课

1．教学例2．54∶x＝9∶4

教师：⑴已知哪三项，求哪一项？

⑵你认为第一步应怎样？

⑶依据是什么？下面你会解答吗吗？（学生在课堂作业本上完成，并指名板演）

核对：你知道9 x表示什么？54 x4表示什么？

引导：课本第32页上还有一种解法，比较一下你的解法与书上解法有什么不同？（学生汇报，课件演示）

你的解法与书上解法有什么相同之处？（第一步相同）依据是什么？（学生汇报）你觉得哪种方法好就用哪种方法。

2．教学例3。

教师：再来看第2题。

出示例3：　1.275 ＝0.4X

教师：这道题和例2相比，有哪些地方不同？

学生：这个比例是分数形式。

教师：⑴哪两个是比例外项，哪两个是比例内项？

⑵像这样的分数形式的比例，同学们会用比例的基本性质来解吗？想一想，怎样解？

学生解答。反馈。

3、比较、小结。

教师：比较一下例2、例3的解答过程有什么相同之处？

第一步的依据都是什么？（应根据比例的基本性质把比例改写成含有未知数的乘法等式。）格式上要注意什么？（先写解，同时把含有未知项的积写在等号的左边。）

4、巩固练习。

⑴出示：14 ∶18 ＝x∶110 学生独立完成，指名板演。

⑵完成练一练（3道题）

学生独立完成后汇报，全对的举手。

5、小结：谁来说说怎样解比例？（2、3人说）

四、课堂练习。

第6题。出示，学生完成。并汇报。

教师：解下面的比例，如果遇到困难可以与同桌商量，共同解决。（学生汇报结果，教师：你们觉得哪题较困难？）引导说出：左边是比号形式右边是分数形式出现的比例，哪两个是比例外项，哪两个是比例内项？可以先写成比号形式的比例再求出比例的解。（结合学生作业展示进行）

五、小结。说说今天学习了什么？

课后反思：学生基本掌握解比例的方法，学会解比例，能根据比例的基本性质，将比例改写成两个内项积等于两个外项积的形式，即已学过的含有未知数的等式。解比例的过程学生也有自己的方法。

第十课时

4.13

教学目标：理解正比例的意义。

教学重点：理解正比例的意义。

教学过程：

(一)复习准备

请同学口述三量关系：

(1)路程、速度、时间；(2)单价、总价、数量；(3)工作效率、时间、工作总量。

(二)学习新课

今天我们进一步研究这些数量关系中的一些特征，请同学们回答老师的问题。

出示例1:一列火车1小时行60千米，2小时行多少千米？3小时、4小时、5小时……各行多少千米？

生：60千米、120干米、180千米……

师：根据刚才口答的问题，整理一个表格。

表中有几种量？是什么？

路程是怎样随着时间变化的？

师：像这样一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量就叫做两种相关联的量。

(板书：两种相关联的量)

师：表中谁和谁是两种相关联的量？

生：时间和路程是两种相关联的量。

我们看一看他们之间是怎样变化的？

现在我们从后往前看，时间由8小时变为7小时、6小时、4小时……路程又是如何变化的？

从上面变化的情况，你发现了什么样的规律？(小组进行讨论。)

生：时间从小到大，路程也随着从小到大变化；时间从大到小，路程也随着从大到小变化。

师：我们对比一下老师提出的两个问题，互相讨论一下，这两种变化的原因是什么？

(分组讨论)

师：请同学发表意见。

生：第一题时间扩大了，行的路程也随着扩大；第二题时间缩小了，所行的路程也随着缩短了。

师：我们对这种变化规律简称为“同扩同缩”。(板书)让我们再看一看，它们扩大缩小的变化规律是什么？

师：根据时间和路程可以求出什么？

生：可以求出速度。

师：这个速度是谁与谁的比？它们的结果又叫什么？

生：这个速度是路程和时间的比，它们的结果是比值。

师：这个50实际是什么？变化了吗？

生：这个50是火车的速度，是路程和时间的比值，也是路程和时间的商，速度不变。

驶多少千米，速度都是60千米，这个速度是一定的，是固定不变的量，我们简称为定量。

师：谁是定量时，两种相关联的量同扩同缩？

生：速度一定时，时间和路程同扩同缩。

师：对。这两种相关联的量的商，也就是比值一定时，它们同扩同缩。我们看着表再算一算表中路程与时间相对应的商是不是一定。

(学生口算验证。)

生：都是60千米，速度不变，符合变化的规律，同扩同缩。

师：同学们总结得很好。时间和路程是两种相关联的量，路程是随着时间的变化而变化的：时间扩大，路程也随着扩大；时间缩小，路程也随着缩小。扩大和缩小的规律是：路程和时间的比的比值总是一样的。

师：谁能像老师这样叙述一遍？

(看黑板引导学生口述。)

师：我们再看一题，研究一下它的变化规律。

出示例2。

学习例2

按题目要求回答下列问题。(幻灯)

(1)表中有哪两种量？

(2)谁和谁是相关联的量？关系式是什么？

(3)总价是怎样随着米数变化的？

(4)相对应的总价和米数的比各是多少？

(5)谁是定量？

(6)它们的变化规律是什么？

生：(答略)

师：比较一下两个例题，它们有什么共同点？

生：都有两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。

师：对。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。这就是今天我们学习的新内容。(板书课题：正比例的意义)

师：你能按照老师说的叙述一下例1中两个相关联的量之间的关系吗？

生：路程随着时间的变化而变化，它们的比值(也就是速度)一定，所以路程和时间是成正比例的量，它们的关系是正比例关系。

师：想一想例2，你能叙述它们是不是成正比例的量？为什么？(两人互相试说。)

师：很好。请打开书，看书上是怎样总结的？

(生看书，并画出重点，读一遍意义。)

师：如果表中第一种量用x表示，第二种量用y表示，定量用k表示，谁能用字母表示成正比例的两种相关联的量与定量的关系？

师：你能举出日常生活中成正比例关系的两种相关联的量的例子吗？

生：(答略)

师：日常生活和生产中有很多相关联的量，有的成正比例关系，有的是相关联，但不成比例关系。所以判断两种相关联的量是否成正比例关系，要抓住相对应的两个量是否商(比值)一定，只有商(比值)一定时，才能成正比例关系。

(三)巩固反馈

1．课本上的“做一做”。

2．幻灯出示题，并说明理由。

(1)苹果的单价一定，买苹果的数量和总价(　　　 )。

(2)每小时织布米数一定，织布总米数和时间(　　　 )。

(3)小明的年龄和体重(　　　 )。

(四)课堂总结

师：今天主要讲的是什么内容？你是如何理解的？

(生自己总结，举手发言。)

师：打开书，并说出正比例的意义。有什么不明白的地方提出来。

(五)布置作业

课后反思：今天学习了正比例的意义，大部分学生都理解会分析，但是王颜还不明白，在周五要重点指导。

第十一课时

4.14

教学目标：根据成正比例的意义，判断两种量是否成正比例。

教学重点：掌握判断成正比例的方法。

教学过程：

一、复习准备

1、请你说一说正比例的意义。

2、根据刚才所说的，想一想成正比例需要几个要素？

二、探究新知

京东啤酒厂有一条自动生产线，每分钟生产啤酒60瓶，5分钟，10分钟，15分钟……..生产啤酒多少瓶？

讨论学习：生产啤酒的数量与生产的事件是不是成正比例？

1、分组学习，可以利用列表的方法。

2、检查学习效果。

3、练一练：正方形的边长与周长成正比例吗？为什么？

三、巩固练习

1、同桌出题并判断

2、判断练习

（1）每个小朋友年年都要长高，那末小明的身高和年龄。

（2）平行四边形的底一定，平行四边形得高与面积

（3）每公顷播种量一定，播种土地的公顷数与所需种子数。

四、作业：79页2题

五、板书 京东啤酒厂有一条自动生产线，每分钟生产啤酒60瓶，5分钟，10分钟，15分钟……..生产啤酒多少瓶？

总量:时间=效率（一定）

所以成正比例

课后反思：根据成正比例的意义，学生会判断两种量是否成正比例，都很熟练，王颜比周四强多了，会判断。

第十二课时

4.17

教学目标：学习理解反比例的意义。

教学重点：使学生理解反比例的意义。

教学过程：

一、谈话引入

上周我们学习了正比例，今天我们将学习什么？

二、新授

学习例4

1、以小组为单位，学习反比例的意义，每小组准备一张方格图

根据题意填表

每本页数

本数

纸的总页数

2、听取汇报

提问：问题中那两种量是变化的？这两种量有什么变化？

3、得出结论：我们把长方形的长和宽就叫做成反比例的量

4、进一步理解反比例的意义:学习例5

（1）那两种量是相关联的？

（2）这两种量是怎样变化的？

（3）你发现什么规律？

三、总结反比例的意义

指名回答

用字母表示

针对例6进行分析

四、巩固练习

1、 自己举一个反比例的例子。

2、 练一练

五、作业：4

六、板书

课后反思：通过学习正比例意义的分析、判断，学习反比例的意义，学生学习的很快。

第十一课时

4.18

教学目标：根据反比例的意义判断两种量是否成反比例。

教学重点：能够掌握判断反比例的方法。

教学过程：

一、复习反比例的意义

1、 指名同学说一说回忆反比例的意义。

2、提出：你还记得如何判断两种量成正比例吗？

二、新授

（一）学习新知

总人数一定，每组的人数和组数是不是成反比例的？

1、学生读题

2、学生独立完成

3、回报交流：说一说你是怎么判断的？

（二）比较正比例与反比例的区别

小组内比较区别

在班内交流。

三、巩固练习

判断：1、圆锥的地面积已定，圆锥的高和体积成不成比例？如果成比例，成什么比例？

2、自行车有两个泳联条连接起来的齿轮，他们的齿数和转数城不成比例？成什么比例？

3、路程一定，车轮的半径和车轮的转数成不成比例？成什么比例？

四、作业

五、板书： 总人数一定，每组的人数和组数成比例

每组的人数×组数=总人数（一定）

课后反思：这一小节学完了，回想起上周在洞小值班和黄永起老师探讨怎样讲正比例、反比例的意义。黄老师说一节课全讲完了，而我用4课时，我觉得我很扎实，学生掌握很透，也为正比例、反比例应用题打下基础。

正比例和反比例应用题

第十三课时

4.19

教学目标：理解并掌握正比例的意义解答最基本的正比例应用题。渗透事物之间存在普遍联系的辩证唯物主义观点的启蒙教育。

教学重点：掌握正比例应用题的解体思路和计算方法。

教学难点:培养学生观察、比较、归纳、概括及逻辑分析能力。

教学过程：

一、复习

1、 判断下面各题中的两种量成什么比例？为什么？

（1） 火车的速度一定，行使的路程和时间。

（2） 圆的直径和圆的面积。

（3） 出油率一定，出油的重量和大豆的重量。

（4） 亩产量一定，总产量和亩数。

2、 根据下列已知条件，先判断已知条件的两种量是不是成比例，如果成比例，把已知条件用等式表示出来。

(1) 一列火车3小时行150千米，照这样速度5小时行250千米。

(2) 生产8个零件用2小时，生产48个零件用8小时。

(3) 100千克黄豆可榨出13千克豆油，照这样计算，300千克大豆可以榨出ⅹ千克豆油。

(4) 一个榨油厂，第一天用2台榨油机共榨油16吨，第二天用8台同样的榨油机共榨油ⅹ吨。

二、新授

1、 出示例题 例1

2、 你们会做吗？自己做一做。

3、 汇报：

（1）17．5÷（7.5÷3）

4、用比例的方法解答。要强调验算。

学生认真审题读题

用算术方法计算

分析题中的数量关系，谁和谁构成相关联的量，构成什么比例？

分析像“照这样计算”的意义

列方程解答（注意在；设的要全面，不要有半句话）

三、练习

1、一台织布机4小时织布24米，照这样计算，9小时织布多少米？

2、某队安装一条水管，4天安装120米，照这样计算，安装480米水管需要多少天？

四、说说用比例的方法解答应用题的步骤？

五、作业：2、7、8、10

课后反思：今天中心校鲍老师、杨老师、李老师听了我的课，我觉得他们评的很好，尤其在讲正比例应用题中要让学生透彻的分析像“照这样计算”的意义等。还要让学生探求一题多解。

第十四课时

4.20

教学目标：学会解答反比例应用题，养成良好的验算习惯。

教学重点：掌握解题方法

教学过程：

一、复习

先判断两种相关联的量成什么比例，再写出关系式。

1、一批纸，每本30页，可装订40本，每本25页，可装订48本。

2、一批化肥，每车装4吨，可装15车，每车装5吨，可装12车。

3、一艘轮船，从甲地到乙地，每小时行15千米，6小时到达，如果每小时行18千米，5小时到达。

4、运一批货物，每天运10吨，需30天运完，每天运50吨，需ⅹ天运完。

提问：你能把它改成一道应用题吗？学生自主探究

二、新授

1、出示例题 83页例二

学生认真审题读题

用算术方法计算

分析题中的数量关系，谁和谁构成相关联的量，构成什么比例？

列方程解答

学生解决问题并汇报。（强调验算过程）

探求反比例的解题思路

1、 课堂练习

（1） 一批水果，每筐装45克，需40筐，如果每筐装50克，需要多少筐？

（2） 一堆煤，原计划每天烧40克，可以烧15天，如果每天烧50克，可以烧多少天？

（3） 一台拖拉机3天耕地150亩，照这样计算，一星期可以耕地多少亩？

一、 课堂小结：说说正反比例应用题解答方法及关键。

二、 板书

反比例应用题

例2 题目： 方法：

解答方法： 关键：判断

第十五课时

4.21

教学目标：对正反比例应用题进行比较，学会用两种方法解答应用题。

教学重点：掌握两种不同的解答方法。

教学难点：培养学生认真仔细的好习惯。

教学过程：

一、复习：

用比例方法解答应用题的步骤是什么？

二、探求一题多解的方法

85页8题有几种解答方法？

分析题意，找相关联的量

分别是什么？

为什么单位可以不转化？

你能有多少种方法解答

师生共同探讨。

学生在展台演示交流

二、练习

52.2千克面粉可以烤制面包72千克。靠制同样的面包150克，需要面粉多少克？（用两种方法解答）

三、选择 86页13题。

四、思考题：用边长15厘米的方转给一个房间铺地，需要1200块。如果改用边长是25厘米的方砖铺地，需要多少块砖？

作业：练习十一10-----12题

单元检测：2课时

4.24

六年级期末总复习整理

教学要求

1、使学生比较系统地牢固地掌握有关整数和小数、分数和百分数、简易方程、比和比例等基础知识；具有进行整数、小数、分数四则运算的能力，会使用学过的简便算法，合理、灵活地进行计算，进一步提高计算能力；会解简易方程；养成检查和验算的习惯。

2、使学生巩固已获得的一些计量单位大小的表象，进一步明确各种计量单位的应用范围，牢固地掌握所学的单位间的进率，能够比较熟练地进行名数的简单换算。

3、使学生牢固地掌握所学的几何形体的特征，进一步掌握一些计算公式的推导过程和相互之间的联系，能够比较熟练地计算一些几何形体的周长、面积和体积，巩固所学的简单画图、测量等技能，进一步发展学生的空间观念。

4、使学生掌握所学的统计初步知识，能够看懂和绘制简单的统计图表，能对统计数据作简单的分析，并且能够计算求平均数问题。

5、使学生牢固地掌握所学的一些常见的数量关系和应用题的解答方法，能够比较灵活地运用所学知识独立地解答所学的应用题和生活中一些简单的实际问题，进一步培养学生的思维能力。

(一)整数、小数的意义和读写

教学内容：教材第57—59页整数、小数的意义、数位顺序和读写方法、“练一练”，练习十一第1～5题。

教学要求：

1、使学生进一步掌握整数、小数的意义，掌握整数、自然数、小数之间的区别与联系，加深对整数、小数概念的理解与认识。

2、使学生巩固整数、小数的读写方法，会正确比较整数、小数的大小。

教学过程：

一、揭示课题

同学们经过六年的学习，已经学完了小学数学的全部内容。在以后近两个月的数学课里，我们将进行数学总复习。通过总复习，使我们进一步牢固掌握小学数学的知识，为到初中学习打下更好的基础。小学数学总复习分七节内容安排，第一节是整数和小数。今天这节课，首先复习整数、小数的意义和读写方法。(板书课题)通过这节课的复习，要求大家进一步明确整数、小数的相关概念，提高整数、小数的读写能力。

二、复习整数、小数的意义

1、整理整数的概念。

提问：我们已经学过的整数里包括哪些数?(板书)谁来说一说，怎样的数是自然数?(板书：0，1，2，3……)你能举几个自然数的例子吗?(板书学生举例的数)数物体时什么情况下要用。表示?提问：你还看出按顺序排列的自然数里有哪些特点?(让学生自己自由地说一说)小结自然数在数物体时表示的意义，说明自然数是整数，并说明以后还要学习比0小的整数。

2、学生练习。

做“练—练”第1、2题。

第1题让学生在课本上画出整数，圈出自然数，然后指名学生口答。

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