学解应用题工程问题思路指点(人教版教案设计)

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 工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间相互关系的一种应用题。我们通常所说的:“工程问 题”,一般是把工作总量作为单位“1”,因此工作效率就是工作时间的倒数。它们的基本关系式是:工作总 量÷工作效率=工作时间。

    工程问题是小学分数应用题中的一个重点,也是一个难点。下面列举有关练习中常见的几种题型,分别进 行思路分析,并加以简要的评点,旨在使同学们掌握“工程问题”的解题规律和解题技巧。 

    例1 一项工程,由甲工程队修建,需要12天,由乙工程队修建,需要20天,两队共同修建需要多少 天? 

    [思路说明] ①把这项工程的工作总量看作“1”。甲队修建需要12天,修建1天完成这项工程的1 /12;乙队修建需要20天,修建1天完成这项工程的1/20。甲、乙两队共同修建1天,完成这项工程 的1/12+1/20=2/15,工作总量“1”中包含了多少个2/15,就是两队共同修建完成这项工 程所需要的天数。 

    1÷(1/12+1/20)=1÷2/15=15/2(天) 

    ②设这项工程的全部工作量为60(12和20的最小公倍数),甲队一天的工作量为60÷12=5, 乙队一天的工作量为60÷20=3,甲、乙两队合建一天的工作量为5+3=8。用工作总量除以两队合建 一天的工作量,就是两队合建的天数。 

    60÷(60÷12+60÷20)=60÷(5+3) 

    =60÷8=15/2(天) 

    评点 这是一道工程问题的基本题,也是工程问题中常见的题型。上面列举的两种解题方法,前者比较简 便。这种解法把工作量看作“1”,用完成工作总量所需的时间的倒数作为工作效率,用工作总量除以工作效 率和,就可以求出完成这项工程所需的时间。工程问题一般采用这种方法求解。 

    练习:一段公路,甲队单独修要10天完成,乙队单独修要12天完成,丙队单独修要15天完成,甲、 乙、丙三队合修,需要几天完成? 

    例2 一项工程,甲队独做8天完成,乙队独做10天完成,两队合做,多少天完成全部工程的3/4? 

    [思路说明] ①把这项工程的工作总量看作“1”,甲队独做8天完成,一天完成这项工程的1/8; 乙队独做10天完成,一天完成这项工程的1/10。甲、乙两队合做一天,完成这项工程的1/8+1/1 0=9/40,工作总量“1”中包含多少个甲乙效率之和,就是甲乙合做所需要的天数。甲乙合做所需时间 的3/4,就是甲乙合做完成全部工程的3/4所需的时间。 

    1÷(1/8+1/10)×3/4 

    =1÷9/40×3/4=10/3(天) 

    ②把甲、乙两队合做的工作量3/4,除以甲、乙两队的效率之和1/8+1/10=9/40,就是甲 乙合做完成全部工程的3/4所需要的时间。 

    3/4÷(1/8+1/10)=3/4÷9/40=10/3(天) 

    评点 思路①是先求出两队合做一项工程所需的时间,再用乘法求出完成全部工程的3/4所需的时间。 思路②是把“3/4”看作工作总量,工作总量除以两队效率之和,就可以求出完成全部工程的3/4所需的 时间。两种思路简捷、清晰,都是很好的解法。 

    练习:一项工程,单独完成,甲队需8天,乙队需12天。两队合干了一段时间后,还剩这项工程的1/ 6没完成。问甲、乙两队合干了几天? 

    例3 东西两镇,甲从东镇出发,2小时行全程的1/3,乙队从西镇出发,2小时行了全程的1/2。 两人同时出发,相向而行,几小时才能相遇? 

    [思路说明] ①由甲2小时行全程的1/3。可知甲行完全程要2÷1/3=6(小时);由乙2小时 行全程的1/2,可知乙行完全程要2÷1/2=4(小时)。求出了甲、乙行完全程各需要的时间,时间的 倒数便是各自的速度,进而可求出两人速度之和,把东西两镇的路程看作“1”,除以速度之和,就可求出两 人同时出发相向而行的相遇时间。 

    综合算式: 

    1÷(1/(2÷1/3)+1/(2÷1/2)) 

    =1÷(1/6+1/4)=1÷5/12=12/5(小时) 

    ②由甲2小时行了全程的1/3,可知甲每小时行全程的1/3÷2=1/6;由乙2小时行全程的1/ 2,可知乙每小时行全程的1/2÷2=1/4。把东西两镇的路程“1”,除以甲、乙的速度之和,就可得 到两人同时出发相向而行的相遇时间。 

    综合算式: 

    1÷(1/3÷2+1/2÷2) 

    =1÷(1/6+1/4)=1÷5/12=12/5(小时) 

    评点 本题没有直接告诉甲、乙行完全程各需的时间,所以求出甲、乙行完全程各需的时间或各自的速度 ,是解题的关键所在。 

    练习:打印一份稿件,小张5小时可以打完份稿件的1/3,小李3小时可以打完这份稿件的1/4,如 果两人合打多少小时完成? 

    例4 一项工程,甲、乙合做6天可以完成。甲独做18天可以完成,乙独做多少天可以完成? 

    [思路说明] 把一项工程的工作总量看作“1”,甲、乙合做6天可以完成,甲、乙合做一天,完成这 项工程的1/6,甲独做18天可以完成,甲做一天完成这项工程的1/18。把甲、乙工作效率之和,减去 甲的工作效率1/18,就可得到乙的工作效率:1/6-1/18=1/9。工作总量“1”中包含了多少 个乙的工作效率,就是乙独做这项工程的需要的时间。 

    1÷(1/6-1/18)=1÷1/9=9(天) 

    评点 这是一道较复杂的工程问题,是工程问题的主要题型之一。主要考查同学们运用分数的基本知识及 工程问题的数量关系,解决实际问题的能力。解答这类工程问题的关键是:先求出独做的队或个人的工作效率 ,然后用工作总量“1”除以一个队或个人的工作效率,就可以求出一个队或个人独做的工作时间。 

    有的同学在解这道题时,由于审题马虎,而且受基本工程问题解法的影响,错误地列成:1÷(1/6+ 1/18),这是同学们应引起注意的地方。 

    练习:一批货物,用大小两辆卡车同时运送,5小时可以运完。如果用小卡车单独运,15小时可以运完 。问大卡车单独运几小时可以运完? 

    例5 加工一批零件,单独1人做,甲要10天完成,乙要15天完成,丙要12天完成。如果先由甲、 乙两人合做5天后,剩下的由丙1人做,还要几天完成? 

    [思路说明] 题目要求剩下的工作量由丙1人做,还要几天完成,必须知道剩下的工作量和丙的工作效 率。 

    加工一批零件,单独1人做,甲要10天完成,甲一天加工一批零件的1/10;乙要15天完成,乙一 天加工一批零件的1/15;丙要12天完成,丙一天加工一批零件的1/12。甲、乙合做一天,完成这批 零件的1/10+1/15=1/6,合做5天完成这批零件的1/6×5=5/6,工作总量“1”减去甲 、乙合做5天的工作量,就得到剩下的工作量。把剩下的工作量除以丙的工作效率,就可以求出剩下的工作量 由丙1人做还要几天完成。 

    综合算式: 

    [1-(1/10+1/15)×5]÷1/12 

    =[1-1/6×5]÷1/12 

    =1/6÷1/12=2(天) 

    评点 这是一道较复杂的工程问题,是工程问题中的主要题型之一,也是升学或毕业考试中最常见的试题 之一。它的特点是求剩余部分的工作量完成的时间。关键是正确求出剩余部分的工作量。从工作总量“1”中 减去已完成的工作量,就是剩余部分的工作量。有的同学由于审题不细,又受前面几例工程问题的解法的影响 ,容易错误地列成:[1÷(1/10+1/15)×5]÷1/12. 

    练习:加工一批零件,甲独做要8天完成,乙独做要7天完成,丙独做要14天完成,三人合作2天后, 甲因病休息,乙、丙两人继续合做还要几天完成? 

    例6 一件工程,甲、乙合作6天可以完成。现在甲、乙合作2天后,余下的工程由乙独做又用8天正好 做完。这件工程如果由甲单独做,需要几天完成? 

    [思路说明] 一件工程,甲、乙合作6天可以完成,可知甲、乙合作1天完成这件工程的1/6,甲、 乙合作2天,完成这件工程的1/6×2=1/3。用工作总量“1”减去甲、乙合作2天的工作量1/3, 所得的差1-1/3=2/3,就是余下的工作量。又知余下的工程由乙独做用了8天正好做完,用余下的工 作量除以8,就可以求出1天的工作量,即乙的工作效率。把甲、乙工作效率之和减去乙的工作效率,就可得 到甲的工作效率。求出了甲的工作效率,只要把工作总量“1”除以甲的工作效率,就可得到甲独做这件工程 所需要的天数了。 

    综合算式: 

    1÷[1/6-(1-1/6×2)÷8] 

    =1÷[1/6-(1-1/3)÷8]=1÷[1/6-2/3÷8] 

    =1÷[1/6-1/12]=1÷1/12=12(天) 

    评点 这也是一道复杂的工程问题。解题的关键是正确求出甲的工作效率。要求出甲的工作效率,解题的 步骤较多,只有熟悉和掌握工程问题的结构特点和解题思路,熟练掌握前面5道例题的解题方法及解题的技能 、技巧,才能正确顺利地解答本题。 

    练习:一项工程,甲、乙两队合做9天完成,乙、丙两队合做12天完成,现在甲、乙两队合做了3天, 接着乙、丙两队又合做了6天,最后由丙队单独12天完成了整个工程。如果整个工程由甲、丙两队合做需要 几天完成?

 

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